Це саме той випадок коли треба бачити Ваш паркет.
Варіантів у Вас кілька, це укладання фанери безпосередньо на паркет і укладання фанери на лаги.
Лаги опустять стелю сантиметрів на 10-ь, доведеться і двері перевстановлювати, це можливо?
Якщо ні, то кращий з варіантів це зняти паркет повністю, тим більше навіщо він там під фанерою.
Пробийте рівнем підлоги, якщо перепад великий, паркет знімаємо і це без варіантів.
Що б зафіксувати фанеру на паркеті, використовуються два спосіб фіксації, це клей, що приміром із серії "рідкі цвяхи", "Момент" не поганий варіант