Побудувати можна, але узаконити буде практично не можливо.
Узаконювати прибудову можна як до будівництва (найбільш правильний варіант), так і після будівництва, через суд.
В пакеті документів, які необхідно подати в державні органи займаються цим питанням, є пункт "дозвіл від сусідів", причому дозвіл має бути письмовою.
Якщо сусід проти (тим більше і відстань до будинку мінімальне), то варіантів немає, треба домовлятися.
Через суд так само Ви мало чого досягнете, суд виносить тільки два рішення, або узаконити, або знести.
Сусід так само може подати в суд (якщо ігноруєте його не бажання) і практично у Вас не буде шансів виграти його (я про суд).
Щодо одного з сусідів, сусід повинен бути або власником будинку, або людиною прописаних в будинку, подивіться його документи (того хто проти), можливо він просто знімає будинок, або прописаний в іншому місці.
В цьому випадку у Вас з'являються шанси.
Ну і звичайно потрібен цілий пакет документів. Електромережі, газове господарство (якщо будинок газифікований), пожежники, Санепідемстанція, водоканал.
Потрібен проект прибудови. Почніть з цього, можливо немає сенсу "возитися" з сусідами, можливо одна з служб не дасть дозвіл.