На початку треба простукати всю плитку, щоб переконатися що вона не відходить від поверхні (не "бухти").
Якщо все гаразд, і Ви повністю впевнені що основа під шпаклівку надійна, то можна зашпаклювати і не демонтувати плитку повністю.
Я у себе на балконі Радянський "кабанчик" не демонтував, зашпакльовувати і пофарбував, прямо по плитці.
Шпаклівка підбирається з урахуванням вологості приміщення, якщо це вологі приміщення, то потрібна цементна шпаклівка, якщо сухі, то можна використовувати гіпсові шпаклівки.
Далі, за допомогою ось такої