Можна не намагатися стерти, а пофарбувати двері поверх новим шаром точно такий же фарби.
Але питання звучить саме "Як стерти?", тому буду відповідати і на нього.
Так як при сильному терті фарба стирається, я б порадив:
1 Використовувати яке-небудь засіб, але відтирати акуратно і чимось м'яким, наприклад губкою для митися посуду.
2 Відомо, що жир знищує чорнило. Багато разів бачив на своїх старих списаних зошитах, що в місцях, де є жирові плями, чорнила немає так як жир їх знищив. Тож і ви можете зробити, тобто наприклад змащувати жиром місця з чорнилом на двері. І час від часу (щоб жир не засыхал), протирати це місце мокрою ганчіркою і наносити новий жир. Підійде і спред (олія) в якості жиру. Поступово жир повинен знищити чорнило. Потім можете просто помити двері з миючим засобом і відмити цей жир і залишки чорнила. Але весь цей процес може піти багато часу, так як чорнило таким способом виводяться досить довго.
Але якщо дитина коли розмальовував сильно натискав кульковою ручкою, він міг вдавити невеликі жолобки. Тоді все ж краще пофарбувати двері заново.