Покласти плитку можна, тільки поли все одно будуть продовжувати "розгойдуватися".
Мабуть у Вас лаги прогнили, плитка лагів ніяк не допоможе.
Якщо повністю відсікти пральну машинку від статі, то технічно це складний захід.
Простіше, швидше і дешевше, розібратися з лагами.
А плитку можна класти як на дерево, так і на фанеру яку саморізами прикручуємо до дерева.
Варіант з фанерою навіть краще, не треба знімати фарбу з дошки, ді і "!гуляючий" дерево не піде на користь кахлю.
Фанера потрібна вологостійка.
Розмір з розрахунку що б вона не виступала за габарити пральної машинки.
Кахель краще брати з анти ковзаючим покриттям.